题目

用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x（cm）规格的地砖，恰用n块；若选用边长为y（cm）规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x、y、n都是正整数，且（x，y）=1．试问：这块地有多少平方米？

提问时间：2021-03-29

答案

设这块地的面积为S，则S=nx²=（n+124）y²，得n（x²-y²）=124y²．
∵x＞y，（x，y）=1，
∴（x²-y²，y²）=l，得（x²-y²）|124．
∵124=2²×31，x²-y²=（x十y）（x-y），x十y＞x-y，且x十y与x-y奇偶性相同，

x+y＝31 x−y＝1

或

x+y＝2×31 x−y＝2

解之得x=16，y=15，此时n=900．
故这块地的面积为S=nx²=900×16²=230400（cm²）=23.04（m²）．
故答案为：23.04m²．

先设出这块地的面积，再根据正方形的面积公式得到关于x、y、n的关系式，再根据x十y与x-y的奇偶性相同得到关于x、y的方程组，求出x、y及n的值，再代入这块地的面积表达式即可求解．

本题考点：奇数与偶数．

考点点评：本题考查的是整数的奇偶性问题，虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x、y、n的等式，寻找解题的突破口是解答此题的关键．