题目

一道令人郁闷的数学题目
已知△ABC的重心为G,M为△所在平面上任意一点,求证MA的平方+MB的平方+MC的平方=GA的平方+GC的平方+GB的平方+3GM的平方
三角形还有哪些"心"?

提问时间：2021-03-28

答案

根据余弦定理
GA^2+GM^2-2GA*GM*cosAGM=MA^2
GB^2+GM^2-2GB*GM*cosBGM=MB^2
GC^2+GM^2-2GC*GM*cosCGM=MC^2
累加得
GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2-2*(GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM)
=MA^2+MB^2+MC^2
而GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM
=GA*GM+GB*GM+GC*GM（向量乘法GA等全为向量 ）
=GM*(GA+GB+GC)
GA+GB+GC=0
故GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM=0
故MA的平方+MB的平方+MC的平方=GA的平方+GC的平方+GB的平方+3GM的平方
内心 外心 垂心 重心 .