题目

线性代数题一道
设A=(aij)为一个n阶方阵,|A|=0,且A中的一个元素akl的代数余子式Akl不等于0,试证：（Ak1,Ak2,...,Akn)^T是齐次方程组AX=0的一个基础解系.

提问时间：2021-03-28

答案

首先,已知代数余子式Akl不等于0,所以R(A)=n-1；
那么,解向量组的秩为：n-R(A)=1 .即基础解系只有 1 个向量；
计算AX,X=（Ak1,Ak2,...,Akn)^T,根据行列式性质,i（i!=k）行元素与X（第k行对应的代数余子式) 乘积为0,而第k行元素与X乘积为|A|也为0,所有有AX=0；
即（Ak1,Ak2,...,Akn)^T是AX=0的一个解,又因为解向量组秩为1,所以（Ak1,Ak2,...,Akn)^T就是AX=0的一个基础解系.
通解形式为：x= k*（Ak1,Ak2,...,Akn)^T