题目

三角不等式
在△ABC中,P是△ABC的内部一点,且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°,AP,BP,CP延长交BC,CA,AB于D,E,F.
求证：PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).

提问时间：2021-03-28

答案

证：
在△PBC中,PD为角平分线,根据三角形面积公式(例如:△ABC的面积为S=AB*ACsinA/2),△PBC的面积可以表示为两种形式：
S=PB*PC*√3/4,
S=PB*PD*√3/4+PC*PD*√3/4.
综合此二式,得
PB*PC=（PB+PC)*PD.
由平均值不等式知
(PB+PC)^2/4≥PB*PC,
由此得
(PB+PC)/4≥PD.
同理得
(PC+PA)/4≥PE.
(PA+PB)/4≥PF.
合起来,得
(PA+PB+PC)/2≥PD+PE+PF.
此即
PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).
证毕.