题目

在平面xoy上求一点,使他到x=0,y=0,及x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.

提问时间：2021-03-28

答案

三条直线围成的直角三角形三个顶点A(16,0),B(0,8),C(0,0),设点(x,y)到AB,BC,AC的距离分别是d1,d2,d3,有:
|AB|*d1+|BC|*d2+|AC|*d3=2S(ABC)
而(|AB|*d1+|BC|*d2+AC*d3)^2=4S^(ABC)/(|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2)=128/5
等号成立当且仅当|AB|/d1=|BC|/d2=|AC|/d3
就是40/|x+2y-16|=8/|x|=16/|y|
x=8/5,y=16/5
所以(8/5,16/5)到三直线的距离平方和最小值是128/5