题目

两道三角函数
已知sina+sinb=√3(cosb-cosa),a,b∈（0,π/2）
求sin3a+sin3b
若sina+sinb=√3/3(cosb-cosa),a,b∈（-10,π）,则a-b=?

提问时间：2021-03-28

答案

难倒是不难,就是有些麻烦.倒也不是为了追加悬赏,解决问题才是重要的.
1.原等式可化为 sinA+√3cosA=√3cosB-sinB
推出 2sin(A+π/3)+2sin(B-π/3)=0
根据和差化积公式—— sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
所以 原等式又可化为
→sin((A+B)/2)cos((A-B+2π/3)/2)=0
由于A、B均在0到π/2之间,所以sin((A+B)/2)≠0
即 cos((A-B+2π/3)/2)=0 即 A-B+2∏/3=∏/2
得 A-B=π/3
那么 sin3A+sin3B
=2sin((3A+3B)/2)cos((3A-3B)/2)
=2sin((3A+3B)/2)cosπ/2
=0
2.原等式可化为
3sinA+√3sinA+3sinB-√3cosB=0
2√3sin(A+∏/6)+2√3sin(B-∏/6)=0
同样再根据积化和差变换 得
sin((A+B)/2)cos((A-B+∏/3)/2)=0
***我觉得你那个范围应该是（0,π）吧?要不得讨论很多情况的***
即 cos((A-B+∏/3)/2)=0
依题意 π/6