题目
设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-
1 |
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提问时间:2021-03-27
答案
(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b
从而f′(x)=6(x+
)2+b−
,即y=f′(x)关于直线x=-
对称,
从而由条件可知-
=-
,解得a=3
又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2-12x+1
f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)
令f′(x)=0,得x=1或x=-2
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增函数;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
从而f(x)在x=-2处取到极大值f(-2)=21,在x=1处取到极小值f(1)=-6.
从而f′(x)=6(x+
a |
6 |
a2 |
6 |
a |
6 |
从而由条件可知-
a |
6 |
1 |
2 |
又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2-12x+1
f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)
令f′(x)=0,得x=1或x=-2
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增函数;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
从而f(x)在x=-2处取到极大值f(-2)=21,在x=1处取到极小值f(1)=-6.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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