题目

已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,则（a+1a)+(b+1)+(c+1c)的最小值是多少?请各位看以下过程为何不对!
a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,因为a+1a>=2,b+1>=2,c+1c>=2,相加得（a+1a)+(b+1)+(c+1c)>=6,所以（a+1a)+(b+1)+(c+1c)的最小值是6 请各位快救救我!

提问时间：2021-03-27

答案

a+1a>=2,b+1>=2,c+1c>=2这三个式子没错,但在a+b+c=1的条件下,他们是不可能同时取等号的,事实是不可能取等号的,因为等于是在 a=1、b=1、c=1条件下求得的,而 a、b、c因为都是正数,且a+b+c=1,所以它们都是小于1r的.
正确的解法：
（a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)
=(a+b+c)+1/a+1/b+1/c
=1+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=4+(b/a+a/b)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
然后根据基本不等式,有
b/a+a/b>=2
a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
三式相加,就会得到原式>=4+6=10
即最小值是10,在 a=b=c=1/3时取得.