题目
已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A. x=0
B.
-
=1(x≥
)
C.
-
=1
D.
-
=1或x=0
A. x=0
B.
x2 |
2 |
y2 |
14 |
2 |
C.
x2 |
2 |
y2 |
14 |
D.
x2 |
2 |
y2 |
14 |
提问时间:2021-03-27
答案
由题意,①若两定圆与动圆相外切或都内切,即两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
∴|MC1|=|MC2|,即M点在线段C1,C2的垂直平分线上
又C1,C2的坐标分别为(-4,0)与(4,0)
∴其垂直平分线为y轴,
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切,不妨令与圆C1:(x+4)2+y2=2内切,与圆C2:(x-4)2+y2=2外切,则有M到(4,0)的距离减到(-4,0)的距离的差是2
,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以(-4,0)与(4,0)为焦点,以
为实半轴长的双曲线,故可得b2=c2-a2=14,故此双曲线的方程为
-
=1
综①②知,动圆M的轨迹方程为
-
=1或x=0
应选D.
∴|MC1|=|MC2|,即M点在线段C1,C2的垂直平分线上
又C1,C2的坐标分别为(-4,0)与(4,0)
∴其垂直平分线为y轴,
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切,不妨令与圆C1:(x+4)2+y2=2内切,与圆C2:(x-4)2+y2=2外切,则有M到(4,0)的距离减到(-4,0)的距离的差是2
2 |
2 |
x2 |
2 |
y2 |
14 |
综①②知,动圆M的轨迹方程为
x2 |
2 |
y2 |
14 |
应选D.
由于动圆与两个定圆都相切,可分两类考虑,若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切,可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等,故动圆圆心M的轨迹是一条直线,且是两定圆圆心连线段的垂直平分线.若一内切一外切,则到两圆圆心的距离差是一个常数,由双曲线的定义知,此种情况下轨迹是双曲线.
轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定.
考查圆与圆的位置关系,及垂直平分线的定义.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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