定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x） - 超级试练试题库

题目

定义在R+上的函数f(x)单调递增,并且满足f(2)=1,f(x*y)=f(x)+f(y) （1）求证f(x²）=2f（x）
（1）求证f(x²）=2f（x）
（2）求f（1）的值
（3）若f（x）+f（x-2）≤2,求x的取值范围

提问时间：2021-03-27

答案

令y=x代入f(xy)=f(x)+f(y)得到f(x^2)=2f(x)
令x=1,所以f(1^2)=2f(1), 所以f(1)=0
f(4)=f(2^2)=2f(2)=2
所以f(x(x-2))=f(x)+f(x-2)<=2=f(4)
所以f(x(x-2))<=f(4)
因为单调递增,所以x(x-2)<=4, x^2-2x-4<=0, 1-根号5<=x<=1+根号5
因为定义在正R上,所以要求x>0, x-2>0, 综合得到2

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