题目

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
（3）从第几个月起公司开始盈利？该月公司所获利润是多少万元？

提问时间：2021-03-27

答案

（1）由题意得出：图象过（0，0），（4，0）点，则设解析式为：S=at（t-4），
再利用图象过点（2，-2），则-2=a×2×（2-4），
解得：a=

1

2

故抛物线解析式为：S＝

1

2

t(t−4)；
（2）当S=30时，
30=

1

2

t（t-4）
解得：t₁=10，t₂=-6（舍去）；
（3）由图象可得出：当t＞2时，S随t的增大而增大，所以从第3个月起开始盈利，
所获利润为S_（3）-S_（2）=

1

2

×3×（3-4）-

1

2

×2×（2-4）=0.5（万元）．

（1）根据图象可知抛物线的顶点坐标为（2，-2）图象过（0，0），（4，0）点，所以可设设二次函数的解析式为S=at（t-4），由图可知当t=2，s=-2，所以求出a的值，进而求出累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式．
（2）根据（1）中所求解析式，进而得出S=30时，求出t的值；
（3）第3个月公司所获利润=第3个月公司累积利润-第2个月公司累积利润．

本题考点：二次函数的应用．

考点点评：本题考查了交点式求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．