题目

几道关于极限的题
limx→∞,e^x(∫e^-t^2dt+a)=b积分上下限是根下x和0求a b
limx→∞,[(x^n+7x^4+2)^m-x]=b (n>4,b≠0)求m n b

提问时间：2021-03-27

答案

1.首先容易判断 ∫e^-t^2dt+a 的极限是0,否则 e^x(∫e^-t^2dt+a) 的极限是无穷.因此 a=- ∫e^-t^2dt 其中积分是0到 无穷 ,所以 a= - 根π/2.
因此 e^x(∫e^-t^2dt+a)=(∫e^-t^2dt+a)/(e^-x) 积分上下限是根下x和0
是0/0型的不定式,用洛必达法则
极限= 极限 e^-x*1/(2根下x) / -e^-x =0 ,所以 b=0
2.(x^n+7x^4+2)^m 将x提出 得,x^(mn)( 1+7x^(4-n)+2x^-n )^m
可以知道 mn=1,否则极限是无穷
因此 (x^n+7x^4+2)^m-x = x( ( 1+7x^(4-n)+2x^-n )^m - 1 )
将括号内的幂展开 有 极限 x* ( m * (7x^(4-n)+2x^-n ) + 高阶无穷小 ) =b
所以 5-n=0 ,n=5,m=1/5,b=7/5