题目

已知函数f（x）=

1+ex

3−aex

是定义域上的奇函数，则函数f（x）的值域为______．

提问时间：2021-03-27

答案

函数f（x）=

1+ex

3−aex

是定义域上的奇函数，
∴f（-x）=

1+e−x

3−ae−x

=-f（x）=-

1+ex

3−aex

，
解得：a=3，
∴f（x）=

1+ex

3−3ex

=−

1

3

+

2

3(1−ex)

，
当x＞0时，e^x＞1，所以

2

1−ex

＜0，
所以

1+ex

3−3ex

＜-

1

3

；
由于f（x）是奇函数，故x＜0时，f（x）＞

1

3

，
所以函数的值域是：(−∞，−

1

3

)∪(

1

3

，+∞)．

根据函数的奇函数由f（-x）=-f（x），求出a的值，然后再求x＞0时的值域，再根据函数的奇函数，求x＜0的值域即可．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查函数的奇偶性和奇偶性的应用，属于中档题．