题目

设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，则ab等于______．

提问时间：2021-03-27

答案

验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得-1≤a≤0令f（x）=x4-x3+ax+b，即f（1）=a+b=0又f′（x）=4x3-3x2+a，f′′（x）=12x2-6x，令f′′（x）＞0，可得x＞...

由题意，x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，考察（x²-1）²，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键