题目

已知f(x)是偶函数,x∈R,若将f(x)的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数∫(2)=-1,则∫(8)+∫(9)+∫(10)+.+∫(2008)等于

提问时间：2021-03-27

答案

x∈R
若将f(x)的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数,
即点(x,f(x))向右平移1单位得到(x+1,f(x)),即是函数f(x-1)图像上点,
故g(x)=f(x-1)是奇函数,f(-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1),
所以g(0)=0,即f(-1)=0,
f(x)是偶函数,f(-x)=f(x),所以f(1)=0,
又f(x)=f(-x)=f[-(x-1)-1]=-f[(x-1)-1]=-f(x-2)=-f(2-x)=-f[(3-x)-1]=f[(x-3)-1]=f(x-4),
所以 f(x)是以4为周期的周期函数
由f(-1)=0,得f(1)=0,
由f(2)=-1,得f(-2)=-1,即f[(-1)-1]=g(-1)=-1,所以g(1)=1,即f(0)=f(1-1)=1
整理得：
f(x)是以4为周期的周期函数,
f(-2)=-1
f(-1)=0
f(0)=1
f(1)=0
f(2)=-1
……
所以
f(8)+f(9)+f(10)+……+f(2008)
=f(8)+[f(9)+f(10)+f(11)+f(12)]……+[f(2005)+f(2006)+f(2007)+f(2008)]
=f(8)
=f(0)
=1