题目

在直线3x-4y-27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是（　　）
A. （5，-3）
B. （9，0）
C. （-3，5）
D. （-5，3）

提问时间：2021-03-26

答案

根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，
因为已知直线3x-4y-27=0的斜率为

3

4

，所以过P点垂直于已知直线的斜率为−

4

3

，
又P（2，1），
则该直线的方程为：y-1=−

4

3

（x-2）即4x+3y-11=0，
与已知直线联立得：

4x+3y−11＝0① 3x−4y−27＝0②

①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，
把x=5代入①解得y=-3，
所以

x＝5 y＝−3

，
所以直线3x-4y-27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是（5，-3）．
故选A．

根据题意可知，当过点P的直线与已知直线垂直时，两直线的交点到点P的距离最短，所以根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出过点P直线的斜率，又根据点P的坐标和求出的斜率写出该直线的方程，然后联立两直线的方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点B的坐标．

本题考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程与直线的垂直关系．

考点点评：本题的考点是两直线的交点坐标，考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标．解本题的关键是过点P垂直于已知直线的直线，垂足即为已知直线上到点P的最短距离的点．