题目

设圆满足：1.截y轴所得弦长为2
2.被x轴分成两队圆弧,其弧长的比为3：1
在满足条件1和2的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离为5分之根号5的圆的方程
（x-1)^2+(y-1)^2=2 或 （x+1)^2+(y+1)^2=2

提问时间：2021-03-26

答案

已知圆满足①截Y轴所得弦长为2 ②被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 ：1 ③圆心到直线L：X-2Y=0的距离为√5/5,求圆的方程
设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R².(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5,故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1.(2)
或a-2b=1.(3)
设圆与Y轴的交点为（0,y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式,得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”,即｜y1-y2｜=2.按韦达定理,有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1.(4)
又“被X轴分成两段圆弧,其弧长的比为3 ：1”,设劣弧S1所对的圆心
角为θ1,优弧S2所对的圆心角为θ2,则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1,故θ1=90˚,θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A,B两点,则△AMB是等腰直角三角形,因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0.(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2