题目

已知三棱锥D-ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=

5

，AC=

2

，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的体积为=______．

提问时间：2021-03-26

答案

如图：∵AD=2，AB=1，BD=

5

，满足AD²+AB²=SD²
∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，
∴AD⊥平面ABC，
∵AB=BC=1，AC=

2

，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，
∴CD是三棱锥的外接球的直径，
∵AD=2，AC=

2

，
∴CD=

6

，
∴三棱锥的外接球的体积为

4π

3

(

6

2

)3=

6

π．
故答案为：

6

π．

根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的体积．

本题考点：球内接多面体．

考点点评：本题考查了三棱锥的外接球的体积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径．