题目

已知函数f(x)=log a (x²-ax+2倍根号3+a²/4-a)（a＞0且a≠1）,对任意实数x1,x2,当x1 ＜
x2＜a/2时总有f(x1)-f(x2)＞0,那么实数a的取值范围是

提问时间：2021-03-25

答案

即f(x)在（0,a/2）上是减函数；
f(x)是一个对数函数与二次函数的复合,只有增减复合得减；
真数部分的二次函数,开口向上,对称轴是x=a/2,显然在区间（0,a/2）对称轴左边；
所以,真数部分的二次函数在（0,a/2）上递减
要使复合的结果是减函数,则对数部分应该是正函数,所以：a>1；
别忽视了定义域：f(x)在（0,a/2）上是减函数,这个前提是f(x)在（0,a/2）上有定义；
又因为是减函数,所以,只需考虑x=a/2时即可；
把x=a/2代入真数部分,令g(x)=x²-ax+2倍根号3+a²/4-a,
则必须有g(a/2)≧0,即：a²/4-a²/2+a²/4-a+2√3≧0
得：a≦2√3
综上,实数a的取值范围是：1