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题目
如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.

(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=
2
,求AD的长.

提问时间:2021-03-25

答案
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵BE⊥AC,AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE,在△ADC和△BDF中,∠CAD=∠CBEAD=BD∠ADC=∠BDF=90°,∴△ADC≌△B...
(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE,从而得证;
(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.

全等三角形的判定与性质;勾股定理.

本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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