题目

若曲线mx^2+ny^2=1（m>0,n>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点.
且在线段AB上存在一点M使得OM=1/2(OA+OB)(O为原点）,直线OM的倾斜角为π/6,则n/m为——
其中OM,OA,OB为向量。

提问时间：2021-03-25

答案

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
则OA={x1-0,y1-0}={x1,y1}
OB={x2,y2}
OM={x0,y0}
OA+OB={x1+x2,y1+y2}
由已知：OM=(1/2)*(OA+OB)
{x0,y0}={(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}
x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2
而直线OM的倾斜角为π/6
∴其斜率k=tan(π/6)=√3/3
而k又可表示为：
k=(y0-0)/(x0-0)=y0/x0=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)
∴(y1+y2)/(x1+x2)=√3/3 ①
A,B两点为曲线mx^+ny^=1与直线x+y-1=0的两个交点,必有：
y1=1-x1
y2=1-x2
y1+y2=2-(x1+x2) ②
联立mx^+ny^=1与x+y-1=0,消去y,可得到关于x的一元二次方程：
(m+n)x^-2nx+(n-1)=0
由此可知,此方程的两个实根必然是A,B两点的横坐标x1,x2
∴x1+x2=2n/(m+n) ③
将③代入②式,可得：
y1+y2=2m/(m+n) ④
将③,④同时代入①,可得：
[2m/(m+n)]/[2n/(m+n)]=√3/3
m/n=√3/3
∴n/m=√3