题目

ln(cosx)的积分怎么求?
ln(cosx)在0到π/2上的的积分怎么求?
452192750的解答我看懂了，是对的。可是我觉得像是先知道答案后是拼凑出来的，这种方法太巧了我觉得我很难想到，不知道还有没有别的思维比较直接的方法？

提问时间：2021-03-25

答案

答案是(-π/2)ln2,解法如下：
（以下积分均为定积分,积分区域未说明的均在0到π/2）
1.先证：∫ln(cosx)dx=∫ln(sinx)dx.令x=(π/2)-t代入积分式可得∫ln[cos((π/2)-t)]dt=∫ln(sint)dt.得证.
2.设所求积分为I,则有
2I+(π/2)ln2
=∫ln(cosx)dx+∫ln(sinx)dx+(π/2)ln2
=∫[ln(cosx)+ln(sinx)+ln2]dx
=∫ln(2cosxsinx)dx
=∫ln(sin2x)dx
3.找出∫ln(sin2x)dx与I的关系.
令2x=t,则有
∫ln(sin2x)dx
=(1/2)∫ln(sint)dt（积分区域在0到π）
=(1/2)[∫ln(sint)dt+∫ln(sint)dt]（后一个积分区域在π/2到π）
而对于∫ln(sint)dt（积分区域在π/2到π）将u=t-π/2代入则
等于∫ln(cosu)du,即等于I.
从而有∫ln(sin2x)dx=(1/2)[∫ln(sinx)dx+∫ln(cosx)dx]=I.
这样,根据前面的关系就有2I+(π/2)ln2=I,所以I=(-π/2)ln2.