题目

概率 200分
黑箱,里面4个球,红黄蓝绿
每次摸出一个,看完之后放回去.平均多少次能把4色球都摸到过一遍
请各位注意看题，“平均多少次能把4色球都摸到过一遍”，而非“4次摸出4色球的概率”，我都会算……不然不来铺200分了。这样。分数很多
顺便说一句，此题四个备选 A 125 B 33 C 8 D 12
1L这种水平的，就不要来搅局了，
就算要算4次把4个球摸全的概率，也是1x3/4x2/4x1/4

提问时间：2021-03-25

答案

平均多少次能把4色球都摸到过一遍,即求恰摸全所需次数的期望.
设第k次恰好摸全.此次有4种球色可选,每种概率为1/4,
前k-1次必在另3种球中选取,且必含3色球.
由3种球任取k-1次（可漏色）概率为（3/4）^(k-1)
仅取到2种色球概率为3[(2/4)^(k-1)-2(1/4)^(k-1)]
仅取到1种色球的概率为3*（1/4）^(k-1)
则前k-1次取球满足要求的概率为
P1=（3/4）^(k-1)- 3[(2/4)^(k-1)-2(1/4)^(k-1)]- 3*（1/4）^(k-1)
综上,第k次恰好取全的概率为
P（k）=4*1/4*p1
=（3/4）^(k-1)-3(1/2)^(k-1)+3(1/4)^(k-1)
(可验算∑_(k=4)^∞▒〖p（k）=1〗)
则k的期望为
E（k）=∑_(k=4)^∞▒〖k*p（k） 〗
=∑▒〖k*〗 （3/4）^(k-1) -3∑▒〖k*〗(1/2)^(k-1) +3∑▒〖k*〗(1/4)^(k-1)
（上式求和符号均从4置无穷.关于此步的计算,可取k*p^(k-1) （0