题目

一道求和函数的题 :∞∑(2n-1)x^2(n-1)/2^n的和函数
n是从1到无穷的 ,答案是s(x)=(2+x^2)/(2-x)^2

提问时间：2021-03-25

答案

∑{1 ≤ n} (2n-1)x^(2n-2)/2^n
= (∑{1 ≤ n} x^(2n-1)/2^n)'
= (∑{0 ≤ n} x^(2n+1)/2^(n+1))'
= 1/2·(x·∑{0 ≤ n} x^(2n)/2^n)'
= 1/2·(x·∑{0 ≤ n} (x²/2)^n)'
= 1/2·(x/(1-x²/2))'
= 1/2·(1/(1-x²/2)+x·(-1)·(-x)/(1-x²/2)²)
= 1/2·(1+x²/2)/(1-x²/2)²
= (2+x²)/(2-x²)²