题目

如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M．
证明：FM⊥MD，且FM=MD．

提问时间：2021-03-25

答案

证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN．
∵ABCD和CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．
又∵∠H=90°，
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形．
又DM=MN，
∴FM⊥MD，MF=MD．