题目

如图,三角形acb和三角形ecd都是等腰直角三角形,三角形acb的顶点a在三角形ecd的斜边的de上,求证：AE的平方+AD的平方=2AC的平方,（提示：连接bd）

提问时间：2021-03-25

答案

证明：连接DB
1,在等腰直角⊿ABC和⊿BDC中
∵∠ECD=∠ACB=90°
且∠E=45°（等腰直角三角形的锐角为45度）
∴∠ACE=∠DCB(等量减去等量差相等)
∵EC=DC,AC=BC（等腰直角三角形的腰相等）
∴⊿AEC≌⊿BDC（两边和夹角对应相等,两三角形全等）
∴AE=BD（全等三角形的对应边相等）……1
且∠E=∠CDB=45°（全等三角形的对应角相等）
2,在⊿ADB中
∵∠EDC=45°（等腰直角三角形的锐角为45度）
∴∠ADC=90°即：⊿ADB是直角三角形
∴BD²+AD²=AB²……2
由1和2得：AE²+AD²=AB²……3
3,在等腰直角⊿ABC中
∵AB²=AC²+BC²=2AC²……4
由3和4得：BD²+AD²=2AC²