题目

求两题圆锥曲线题的详细过程
1.设点P是双曲线 x^2-y^2/3=1 上一点,焦点F（2,0）,点A（3,2）,使|PA|+1/2 |PF|有最小值时,则点P的坐标是?
2.过双曲线x^2-y^2/2=1 的右焦点F作直线L交双曲线于A,B,AB=4,这样的直线L有几条

提问时间：2021-03-24

答案

1、
a²=1
c²=1+3=4
e=c/a=2
右准线x=a²/c=1/2
由双曲线第二定义
所以PF/P到右准线距离=e=2
所以1/2PF=P到右准线距离
做PQ垂直x=1/2
则PQ=1/2PF
过A做AB垂直x=1/2
则当P不是AB和双曲线交点时
显然有PQ+PA>AB
所以最小就是当P是AB和双曲线交点
所以P和A纵坐标相等
P(m,2)
代入双曲线
m²-4/3=1
m²=7/3
显然P在右支更小
所以P(√21/3,2)
2、
a²=1,b²=2
c²=3
F(√3,0)
若AB垂直x轴
则把x=√3代入
3-y²/2=1
y²=4
所以A(√3,2),B(√3,-2)
所以AB=4
所以若AB都在右支则有一条
若AB分别在两支上
顶点是(±1,0)
距离是2