题目
已知函数f(x)=x2+alnx的图象与直线l:y=-2x+c相切,切点的横坐标为1.
(1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立,求实数m的取值范围.
(1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立,求实数m的取值范围.
提问时间:2021-03-24
答案
(1)因为f′(x)=2x+
,所以-2=f'(1)=2+a,所以a=-4
所以f(x)=x2-4lnx…(2分)
所以f(1)=1,所以切点为(1,1),所以c=3
所以直线l的方程为y=-2x+3…(4分)
(2)因为f(x)的定义域为x∈(0,+∞)所以由f′(x)=
>0得x>
…(6分)
由f′(x)=
<0得0<x<
…(7分)
故函数f(x)的单调减区间为(0,
),单调增区间为(
,+∞)…(8分)
(3)令g(x)=f(x)-2x,则g′(x)=2x-
-2>0(x>0)得x>2
所以g(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数…(10分)
g(x)min=g(2)=-4ln2,所以m≤g(x)min=-4ln2…(11分)
所以当f(x)≥2x+m在f(x)的定义域内恒成立时,实数m的取值范围是(-∞,-4ln2]…(12分)
a |
x |
所以f(x)=x2-4lnx…(2分)
所以f(1)=1,所以切点为(1,1),所以c=3
所以直线l的方程为y=-2x+3…(4分)
(2)因为f(x)的定义域为x∈(0,+∞)所以由f′(x)=
2x2-4 |
x |
2 |
由f′(x)=
2x2-4 |
x |
2 |
故函数f(x)的单调减区间为(0,
2 |
2 |
(3)令g(x)=f(x)-2x,则g′(x)=2x-
4 |
x |
所以g(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数…(10分)
g(x)min=g(2)=-4ln2,所以m≤g(x)min=-4ln2…(11分)
所以当f(x)≥2x+m在f(x)的定义域内恒成立时,实数m的取值范围是(-∞,-4ln2]…(12分)
(1)求导数,利用导数的几何意义求直线方程.
(2)利用导数求函数的单调区间.
(3)将不等式转化为最值恒成立,然后利用导数求函数的最值.
(2)利用导数求函数的单调区间.
(3)将不等式转化为最值恒成立,然后利用导数求函数的最值.
A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究曲线上某点切线方程
本题主要考查导数的综合应用,要求熟练掌握函数的单调性、最值和极值与导数的关系.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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