题目

设函数f(x)=x^2-(a-)2x-alnx.
1)求函数f(x)的单调区间 （2）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值
（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1,x2,求证：f '(x1+x2)>0

提问时间：2021-03-24

答案

（1）f(x)=x^2-(a-2)x-alnx,f'(x)=2x-(a-2)-a/x
函数及导函数定义域为x>0
令f'(x)=0,可得 2x-(a-2)-a/x=0
即 2x^2-(a-2)x-a=(2x-a)(x+1)=0
∵x+1>0,∴函数极值点为x=a/2
若a/2≤0,即a≤0,则f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数
若a/2≥0,即a≥0,则f(x)在(0,a/2]上为单调减函数,在[a/2,+∞)上为单调增函数
（2）此函数在(0,+∞)上只有一个极值点,故在(0,+∞)是最多有2个零点
因函数在[a/2,+∞)上为增函数,故x=a/2为极小值点
当刚好有一个零点时,极小值必为零点,则有
f(a/2)=(a/2)^2-(a-2)*(a/2)-aln(a/2)=0
=(a/2)*[-a/2+2-2ln(a/2)]=0
这个方程解出来约为a=2.74 （超越方程,数值解）
由极小值的表达式可知,随a增大,极小值减小
故当a≥2.74时,函数有两个零点
满足条件的最小正整数a=3
（3）方程f(x)=c的根即为直线y=c与f(x)曲线交点的横坐标
因f(x)定义域为x>0,∴两个根存在时（假设x10, x2>0; x10, 2x2-a>0
f'(x1+x2)=[2(x1+x2)-a](x1+x2+1)/(x1+x2)
=[2x1+(2x2-a)](x1+x2+1)/(x1+x2)
上述式中的各因式均大于0,∴有 f'(x1+x2)>0