题目

已知函数f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-23

答案

（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x²-mx+m有零点，
所以m²-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）•e^x+（x²-mx+m）•e^x=x（x-m+2）e^x，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为x1=

m- m2-4m

2

和x2=

m+ m2-4m

2

，
结合f（x）=（x²-mx+m）•e^x，
可得在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x₁＜0＜x₂，
并且x1-(m-2)=

m- m2-4m

2

-m+2=

-m+4- m2-4m

2

＞

-m+4- m2-4m+4

2

=

-m+4-|m-2|

2

=

-m+4-(2-m)

2

=1＞0，
即x₁＞m-2，
综上，在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．

（1）因为e^x＞0，所以将f（x）有零点转化为g（x）=x²-mx+m二次函数有零点的问题，即判别式大于等于0，可求解．
（2）对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后根据导函数的正负情况判断原函数的单调性可判断函数是否有最小值．

本题考点：A:利用导数研究函数的极值 B:函数零点的判定定理

考点点评：本题主要考查函数的单调、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，也是高考的热点问题，每年必考，要求学生们要给予充分的重视．