题目

设g(x)=log4(a*2^x –4/3*a),若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点,求实数a的取值

提问时间：2021-03-23

答案

这个...第一问呢
由第一问：f(x)=log4(4^x+1)-1/2x=log4[(4^x+1)/(4^(1/2*x))] (x∈R)
有交点,即f(x)=g(x)有解,且唯一.
所以 (4^x+1)/(4^(1/2*x))=a*2^x –4/3*a
令 2^x=t (t>0)
整理： t+1/t=a*t-4/3*a
则方程 (a-1)t2-43at-1=0有且只有一个正根
① a=1⇒t=-3/4,不合题意；
② △=0⇒a=3/4或-3
若 a=3/4⇒t=-12,不合题意；若 a=-3⇒t=12
③若一个正根和一个负根,则 1-a＜0(韦达定理),即a＞1时,满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}