题目

如图1，抛物线y=x²的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）如图2，若将抛物线“y=x²”，改为抛物线“y=x²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；
（3）若将抛物线“y=x²+bx+c”改为抛物线“y=ax²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积．（用a、b、c表示，并直接写出答案）
附加题：若将题中“y=x²”改为“y=ax²+bx+c”，“AB=2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件并说明理由．

提问时间：2021-03-23

答案

（1）设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又抛物线是轴对称图形，
∴PD=m．
∴点A的坐标为（-m，m），
∴m²=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（2）设抛物线y=x²+bx+c=（x-h）²+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=m，
∴点A的坐标为（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）²+n，
∴m=m²，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（3）

2

a2

附加题：

AB

AD

为常数，
设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-h）²+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，

AB

AD

=k，
∴AB=km，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=

km

2

∴点A的坐标为（h−

km

2

，n+m），
∴n+m=a（h-

km

2

-h）²+n，
∴m=

ak2m2

4

，
又∵m≠0，
∴m=

4

ak2

，
∴矩形ABCD的面积为km²=

16

a2k3

∵a为常数，
∴k为常数时，矩形ABCD的面积为常数，
即

AB

AD

为常数时，矩形ABCD的面积为常数．