题目

在直角坐标系中点A（4,-3）为OAB的直角顶点已知/AB/=2/OA/,求x^2-6x+y^2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程
//表示绝对值,OAB为三角形

提问时间：2021-03-23

答案

圆C：x^2-6x+y^2+2y=0
圆C标准方程 (x-3)平方+(y+1)平方=10
圆心C(3,-1),半径根号10
点A(4,-3) 直线AB与直线OB垂直 OB斜率k=-3/4
所以直线AB斜率k1=4/3
所以直线AB的方程 y-3=4/3(x+4) 4x-3y+25=0
因为|AB|=2|OA|=2*5=10
(1)所以B1点的坐标x1=4+10*cosθ θ为直线AB的斜率角
所以x1=4+10*3/5=10
y1=-3+10*sinθ=-3+10*4/5=5
所以B1点坐标(10,5)
所以直线OB1方程 x-2y=0 k=1/2
所以过C点垂直于OB1的方程L1为 y+3=-2(x-4)
即 L1 2x+y-5=0
所以L1与OB的交点M坐标(2,1)
所以C点关于M点的对称点C'(0,5)
所以圆C关于OB1的对称方程 x平方+(y-5)平方=10
(2) B2点的坐标(x2,y2)
x2=4-10*cosθ=4-6=-2
y2=-3-10*sinθ=-3-8=-11
所以 B2(-2,-11)
所以直线OB2方程 11x-2y=0 斜率k=11/2
所以过点C垂直于OB2的方程L2
L2:y+3=-2/11(x-4) 2x+11y+25=0
所以直线L2与直线OB2的交点N(-2/5,-11/5)
所以点C(4,-3)关于N的对称点C'(-24/5,-7/5)
所以圆C关于直线OB2的对称圆 (x+24/5)平方+(y+7/5)平方=10
所以综上,
当点B为(10,5)时,对称圆方程为 x平方+(y-5)平方=10
当点B为(-2,-11)时,对称圆方程为 (x+24/5)平方+(y+7/5)平方=10