题目

如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
求证：∠C=∠BAE．

提问时间：2021-03-23

答案

证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED，
在△ABE与△FDE中
∵

BE＝DE ∠AEB＝∠DEF AE＝EF

，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF=∠ADC，
∵AB=DC，∴DF=DC，
在△ADF与△ADC中
∵

AD＝AD ∠ADF＝∠ADC FD＝DC

，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C=∠AFD=∠BAE．

延长AE到F，使EF=AE，连接DF，可证明△ABE≌△FDE，则∠BAE=∠EFD，∠B=∠EDF，再由外角的性质得出∠ADF=∠ADC，则△ADF≌△ADC（SAS），则∠AFD=∠C，从而得出∠C=∠BAE．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等．