题目
已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(1003)=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
提问时间:2021-03-23
答案
:∵函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称且把y=f(x-1)向左平移1个单位可得y=f(x)的图象,
∴函数y=f(x)的图象关于x=0对称,即函数y=f(x)为偶函数.
∵f(x+4)-f(x)=2f(2),
令x=-2可得f(2)-f(-2)=2f(2),则f(2)=0.
从而可得f(x+4)=f(x)即函数是以4为周期的周期函数,
∴f(1003)=f(250×16+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2,
故选A.
∴函数y=f(x)的图象关于x=0对称,即函数y=f(x)为偶函数.
∵f(x+4)-f(x)=2f(2),
令x=-2可得f(2)-f(-2)=2f(2),则f(2)=0.
从而可得f(x+4)=f(x)即函数是以4为周期的周期函数,
∴f(1003)=f(250×16+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2,
故选A.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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