题目
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
(1)求f(-1),f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;
(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值和最大值,并求出相应的自变量的取值.
(1)求f(-1),f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;
(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值和最大值,并求出相应的自变量的取值.
提问时间:2021-03-23
答案
(1)由题意可得 f(-1)=kf(1)=-k,∵f(0.5)=k f(2.5),
∴f(2.5)=
f(0.5)=
(0.5−2)×0.5=−
.
(2)对任意实数x,f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=
f(x-2).
当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);
当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4).
当2≤x≤3 时,0≤x-2≤1,f(x-2)=kf(x)=(x-2)(x-4),故f(x)=
(x-2)(x-4).
综上可得,f(x)=
∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.
(3)由(2)中函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,
f(x)在x=-3或x=1处取最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,
而在x=-1或x=3处取最大值f(-1)=-k或f(3)=-
,
故有:
①k<-1时,f(x)在x=-3处取最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取最大值f(-1)=-k;
②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取最大值f(-1)=f(3)=1;
③-1<k<0时,f(x)在x=1处取最小值f(1)=-1,在x=3处取最大值f(3)=-
.
∴f(2.5)=
1 |
k |
1 |
k |
3 |
4k |
(2)对任意实数x,f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=
1 |
k |
当-2≤x<0时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);
当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4).
当2≤x≤3 时,0≤x-2≤1,f(x-2)=kf(x)=(x-2)(x-4),故f(x)=
1 |
k |
综上可得,f(x)=
|
∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数.
(3)由(2)中函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,
f(x)在x=-3或x=1处取最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,
而在x=-1或x=3处取最大值f(-1)=-k或f(3)=-
1 |
k |
故有:
①k<-1时,f(x)在x=-3处取最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取最大值f(-1)=-k;
②k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取最大值f(-1)=f(3)=1;
③-1<k<0时,f(x)在x=1处取最小值f(1)=-1,在x=3处取最大值f(3)=-
1 |
k |
(1)利用f(-1)=kf(1),由 f(0.5)=k f(2.5),得到f(2.5)=
f(0.5)=
(0.5-2)•0.5.
(2)有条件可得f(x)=
f(x-2),当-2≤x<0时,-3≤x<-2时,分别求出f(x)的解析式,
从而得到f(x)在[-3,3]上的表达式,通过表达式研究单调性.
(3)由(2)中函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,在x=-3或x=1处取最小值,在x=-1或x=3处取最大值.
1 |
k |
1 |
k |
(2)有条件可得f(x)=
1 |
k |
从而得到f(x)在[-3,3]上的表达式,通过表达式研究单调性.
(3)由(2)中函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,在x=-3或x=1处取最小值,在x=-1或x=3处取最大值.
二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.
本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,体现了换元的思想、分类讨论的数学思想,求f(x)在[-3,3]上的表达式是本题的难点和易错点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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