题目

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和y=ax2+

15

4

x-9都相切，则a等于 ___ ．

提问时间：2021-03-23

答案

由y=x³⇒y'=3x²，设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=

3

2

①当x₀=0时，切线方程为y=0，则ax2+

15

4

x-9=0，△=(

15

4

)2-4a×(-9)=0⇒a=-

25

64

②当x0=

3

2

时，切线方程为y=

27

4

x-

27

4

，由

y=ax2+ 15 4 x-9 y= 27 4 x- 27 4

⇒ax2-3x-

9

4

=0，△=32-4a(-

9

4

)=0⇒a=-1∴a=-

25

64

或a=-1．
故答案为：-

25

64

或-1

已知点（1，0）不知曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+

15

4

x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax²+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．