题目

椭圆z^2/a^2+y^2/b^2=1,过点(0,1),离心率为二分之根号3,设直线x=my+1与椭圆C交于AB两
点,点A关于x轴的对称点为A',试问当m变化时直线A'B是否与x轴交于一个定点,求定点坐标.

提问时间：2021-03-22

答案

椭圆过点(0,1),∴b=1,
离心率c/a=√3/2,
∴(c/a)^2=3/4=(a^2-1)/a^2,a^2=4.
∴椭圆方程是x^2/4+y^2=1.①
把x=my+1②代入①,m^2y^2+2my+1+4y^2=4,
整理得(m^2+4)y^2+2my-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-2m/(m^2+4),y1y2=-3/(m^2+4),
A'(x1,-y1),A'B的斜率=（y2+y1)/(x2-x1)=(y2+y1)/(my2-my1)(由②),
A'B的方程是y-y2=(y2+y1)(x-x2)/(my2-my1),
令y=0得x=x2-m(y2^2-y1y2)/(y2+y1)=my2+1-m(y2^2-y1y2)/(y2+y1)
=1+m[y2^2+y1y2-y2^2+y1y2]/(y1+y2)
=1+2my1y2/(y1+y2)=1+2m(-3)/(-2m)=4,
∴A'B与x轴交于定点(4,0).