题目

设A={xIx^2+4x=0},B={x^2+2(a+1)x+a^2-1=0},其中a属于R,如果A交B等于B,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-03-22

答案

方程x^2+4x=0的解为x=0或x=-4,因此
A={x|x^2+4x=0}={x|x=0或x=-4}={0,-4}
B={x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0}
要求B包含于A,因为B的元素也是一元二次方程的解,故B中的元素最多有两个
显然当B中的方程有两个不同解时,两个解必须是0和-4,否则B就不可能包含于A,此时A、B中的方程是等价方程,比较同次项系数,可知应有：
2(a+1)=4且a^2-1=0,可得：a=1
当B中的方程两根相等即只有一个解时,判别式=0,即a+1=0,a=-1,此时方程的根为x=0,即B={0},显然B也包含于A,即a=-1也满足题设条件
当B中的方程无实数解,即B为空集时,B也包含于A,此时要求判别式＜0,即a+1＜0,a＜-1
综上,满足题设条件的实数a的取值范围是：a≤-1,或a=1.