题目

当x≠0时,f(x)=x^2sin(1/x),当x=0时,f(x)=0,说明f(x)在x=0时的连续性和可导性?

提问时间：2021-03-22

答案

[1]首先说说连续性,其实很简单,就是从图象上来看,函数所代表的曲线是连续的,不被间断的.对于分段函数,要严整连续性的方法就是看在明确的分段点处,该函数的左右极限是否相等.对于本题,就是看在x=0点处,这个函数的左右极限是不是为0.那么由于f(x)=x²sin(1/x),知当x→0时,x²是无穷小量,而sin(1/x)为有界函数,那么因为有界函数与无穷小的积是无穷小,所以该函数在x→0时的极限是0,于是可知该函数连续.
[2]再看看可导性.这里要从导数的定义来看.要使函数可导,就必须使函数在任何一个定义点上可导,对于分段函数来说,可导的关键在于分段点处.对于本题,首先明白的是在x不为0时,函数是f(x)=x²sin(1/x),该函数可导,那么要使整个分段函数可导的矛盾就在于x=0的情况了.我们来验证下在x=0时函数的可导性:
f'(0)=lim{[f(x)-f(0)]/[x-0]}=lim{[x²sin(1/x)]/x}=limxsin(1/x)该极限也是有界函数与无穷小的积的形式,故极限为0,那么可导.