题目

P是椭圆x²/a²+y²/b²=1上任一点.P与两焦点连线互相垂直.且P到两准线间距离分别为6,12.则椭圆的方程为________

提问时间：2021-03-21

答案

椭圆焦点可能在x轴,也可能在y轴
(1)焦点在x轴时
两准线的距离是 2a^2/c=6+12=18,所以 a^2/c=9 (i)
此时点P的坐标为 (12-6)/2=3
代入方程得到 y^2=b^2*(1-9/a^2) (ii)
P与两焦点连线互相垂直
所以 (3+c)*(3-c)+y^2=0 (iii)
结合上面三个式子,解 得 c=5
所以 a^2=45,b^2=20
方程为 x^2/45+y^2/20=1
(2) 焦点在y轴上时,解法相同,
方程为 y^2/45+x^2/20=1