题目

R中的完备性两个命题等价证明
（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.
（2）R中的Cauchy序列在R中收敛.

提问时间：2021-03-21

答案

(1)=>(2)
若R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
设A={an}为R中的一个柯西列,则任意epsilon>0,存在N,当n,m>N时,都有[an-am]N的数列分别有上下确界（上下极限）S与s,且S-s（1）
若R中的任意柯西序列都在R中收敛,要证明R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
下面分这个非空集合是否是有限集合来讨论：
若是有限集合,则取最大数与最小数为上下确界即可
若集合是有界的无限集合,则其任意无限子集都有界,且必存在收敛的柯西子列,而柯西列一定存在上下确界