题目

利用初等变换将矩阵变为行阶梯形矩阵的技巧.
在将矩阵变为行阶梯形矩阵的时候总是不知道如何下手.找不到方法和规律.看过您对于变为行最简矩阵的解释,感觉明白了很多.但是变换成梯形的就怎么也理解不好.麻烦您讲解一下.就是变换的抽象步骤方法.

提问时间：2020-08-07

答案

这个方法不好讲,只能以例子来说明吧,你看一下
行阶梯型矩阵,其形式是：
从上往下,与每一行第一个非零元素同列的、位于这个元素下方（如果下方有元素的话）的元素都是0；
行最简型矩阵,其形式是：
从上往下,每一行第一个非零元素都是1,与这个1同列的所有其它元素都是0.
显然,行最简型是行阶梯型的特殊情形.
本题中,A3第一行第一列的元素为1,第一列的其它元素都是0；从第二行开始没有非零元素了,所以是行最简型.
A4第一行第一列为1,它下面的元素都是0；第二行第一个非零元素是第二行第三列为1,它下面的元素都是0（其实它上面的元素也都是0）；第三行第一个非零元素是第三行第四列为1,它下面没有元素了,所以A4是行阶梯型.因为A4的第三行第四列元素1同列的上方元素不是都是0,所以A4不是行最简型.
如果对A4作行初等变换：r1+r3,r2+5r3,矩阵成为：
1,-2,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1
这个矩阵就是行最简型了.