题目

设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数）.
（1）求a1,a2,a3
（2）猜想an的通项公式,并予以证明
（3）设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号下（anx+1）+根号下（any+1)小于或等于根号下（2（n+2））

提问时间：2021-03-21

答案

根据2Sn=an^2+n
得到2a1=a1^2+1
求得a1=1或a1=-1
又因为 an>0 所以a1=1
同理求得a2=2 a3=3
（2） 猜想an=n
证明 ：因为 2Sn=an^2+n ……①
那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……②
①-②得 2an=an^2-an-1^2+1
即（an-1）^2=an-1^2
因为an>0 两边同时开方得到：
an -1 = an-1
即 an - an-1 =1
故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列
那么an=1+（n-1）*1=n
证毕
（3）第三个题题意不明啊