题目

已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是______．

提问时间：2021-03-21

答案

令g（x）=f(x)ex，则g′(x)=ex•f′(x)-ex•f(x)e2x=ex(f′(x)-f(x))e2x，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=f(x)ex为（-∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）ex，得：f(x)ex＞f(1)e，即g...

由题目要求解的不等式是ef（x）＞f（1）e^x，变性后得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，由此想到构造函数g（x）=

f(x)

ex

，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．

本题考点：导数的运算；其他不等式的解法．

考点点评：本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数g（x）=

f(x)

ex

，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是中档题．