题目

已知a,b,c为互不相等的正数,且abc=1,求证:根号a+根号b+根号c<1/a+1/b+1/c

提问时间：2021-03-20

答案

右边,把1换成abc
这样右边=bc+ac+ab=1/2*(2bc+2ac+2ab)=1/2*[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]=1/2*[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]>=1/2*[a*2*根号(bc)+b*2*根号(ac)+c*2*根号(ab)]=a*根号(bc)+b*根号(ac)+c*根号(ab)=a*根号(1/a)+b*根号(1/b)+c*根号(1/c)=根号a+根号b+根号c
因为abc不相等,所以a+c>=2*根号ac,b+c>=2*根号bc,b+a>=2*根号ba,等号不同时取得,所以原式得证
其中关键是1的代换,在高中不等式证明里面,这个技巧经常用的……要用熟练才行……还有就是重要不等式要牢记