题目

设曲线y=f(x)上任一点N处的切线与x轴的交点为T,且线段NT的长度等于线段OT的长度(O为原点)求该曲线方程

提问时间：2021-03-20

答案

设N(a,f(a))
N处的切线：y=f'(a)(x-a)+f(a)
与x轴交点T:x=-f(a)/f'(a)+a
NT=OT
即[f(a)/f'(a)]^2+f(a)^2=[a-f(a)/f'(a)]^2
展开：f(a)^2=a^2-2af(a)/f'(a)
记f'(a)=y,a=x,写成一般的微分方程：y^2=x^2-2xy/y'
故y'=2xy/(x^2-y^2)
令y=xu,则y'=u+xu'
代入得：u+xu'=2x^2u/(x^2-x^2u^2)
u+xu'=2u/(1-u^2)
xu'=u(1+u^2)/(1-u^2)
du *(1-u^2)/[u(1+u^2)]=dx/x
du*[ 1/u-2u/(1+u^2)]=dx/x
积分：ln|u|-ln(1+u^2)=ln|x|+C1
u/(1+u^2)=ce^x
即:xy/(x^2+y^2)=ce^x
这就是该曲线的方程