题目
如图,在rt三角形abc中∠c=90度 AC=6CM AB=10CM有两个动点P Q分别同时从c点出发 Q沿着CB BA以3cm/s向A运动 P沿CA AB以4cm/s向B移动,其中一点到达终点时两点同时停止运动.
设运动时间为t,问是否t存在,可以使三角形PCQ的面积是三角形ABC面积的一半?如果不存在,请说明理由.
设运动时间为t,问是否t存在,可以使三角形PCQ的面积是三角形ABC面积的一半?如果不存在,请说明理由.
提问时间:2021-03-20
答案
一、考虑P、Q其中一点到达终点时需要的时间.
由题设,点P的移动速度较快,
∴当P到达终点时,需要的时间是:(AC+AB)/4=(6+10)/4=4(s).
∴若存在满足条件的时间t,则有:t≦4s.
二、当P移动到C、A之间的某处(含A处)时,Q一定是在C、B之间.此时:CP=4t、CQ=3t.
若此时存在满足条件的时间t,则有:(1/2)CP×CQ=(1/2)CA×CB/2,
∴4t×3t=6×6/2,∴t^2=3/2,∴t=√6/2(s).
三、当Q移动到B点时,需要的时间是:CB/3=6/3=2(s).
此时的P在A、B之间,且AP=4(2-3/2)=2(cm).
∵此时P不在AB的中间(若在AB的中间,则AP=5cm),∴此时不满足条件.
四、当P、Q都在A、B之间,且P、Q还没有相遇,则此时:
AP=4(t-3/2)、BQ=3(t-2).
若此时存在满足条件的时间t,则有:
(1/2)AC×APsin∠A+(1/2)BC×BQsin∠B=(1/2)AC×BC/2,
∴6×4(t-3/2)/√2+6×3(t-2)/√2=6×6/2, ∴4t-6+3t-6=3√2,
∴t=(12+3√2)/7(s).
五、当P、Q相遇后,此时:
BP=AB-AP=10-4(t-3/2)=4-4t、 AQ=AB-BQ=10-3(t-2)=4-3t.
若此时存在满足条件的时间t,则有:
(1/2)AC×AQsin∠A+(1/2)BC×BPsin∠B=(1/2)AC×BC/2,
∴6×(4-3t)/√2+6×(4-4t)/√2=6×6/2, ∴4-3t+4-4t=3√2,
∴t=(8-3√2)/7(s).
综上所述,得:当P、Q的运动时间为(√6/2)秒、[(12+3√2)/7]秒、[(8-3√2)/7]秒时,都能使△PCQ的面积为△ABC面积的一半.
由题设,点P的移动速度较快,
∴当P到达终点时,需要的时间是:(AC+AB)/4=(6+10)/4=4(s).
∴若存在满足条件的时间t,则有:t≦4s.
二、当P移动到C、A之间的某处(含A处)时,Q一定是在C、B之间.此时:CP=4t、CQ=3t.
若此时存在满足条件的时间t,则有:(1/2)CP×CQ=(1/2)CA×CB/2,
∴4t×3t=6×6/2,∴t^2=3/2,∴t=√6/2(s).
三、当Q移动到B点时,需要的时间是:CB/3=6/3=2(s).
此时的P在A、B之间,且AP=4(2-3/2)=2(cm).
∵此时P不在AB的中间(若在AB的中间,则AP=5cm),∴此时不满足条件.
四、当P、Q都在A、B之间,且P、Q还没有相遇,则此时:
AP=4(t-3/2)、BQ=3(t-2).
若此时存在满足条件的时间t,则有:
(1/2)AC×APsin∠A+(1/2)BC×BQsin∠B=(1/2)AC×BC/2,
∴6×4(t-3/2)/√2+6×3(t-2)/√2=6×6/2, ∴4t-6+3t-6=3√2,
∴t=(12+3√2)/7(s).
五、当P、Q相遇后,此时:
BP=AB-AP=10-4(t-3/2)=4-4t、 AQ=AB-BQ=10-3(t-2)=4-3t.
若此时存在满足条件的时间t,则有:
(1/2)AC×AQsin∠A+(1/2)BC×BPsin∠B=(1/2)AC×BC/2,
∴6×(4-3t)/√2+6×(4-4t)/√2=6×6/2, ∴4-3t+4-4t=3√2,
∴t=(8-3√2)/7(s).
综上所述,得:当P、Q的运动时间为(√6/2)秒、[(12+3√2)/7]秒、[(8-3√2)/7]秒时,都能使△PCQ的面积为△ABC面积的一半.
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