题目

已知圆c：x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆c截得的弦AB为直 径的圆过原点?存在
因为以弦AB为直径的圆过原点,所以可设此圆的方程为C`:x^2+y^2+Dx+Ey=0
又l的斜率为1
所以D+2=4-E （1）
又圆C`的直径在l上
所以圆C`的圆心(-D/2,-E/2)在直线l上
所以(D+2)(-D/2)+(E-4)(-E/2)+4=0 （2）
（1）（2）联立可得D=2,E=2或D=-3,E=5
故所求的直线l存在,其方程为x-y+1=0或x-y-4=0
为什么k=1推出方程1,点带入哪个方程得到方程2

提问时间：2021-03-20

答案

　　存在

　　因为以弦AB为直径的圆过原点,

　　所以可设此圆的方程为C`:x^2+y^2+Dx+Ey=0           

 (此圆的圆心为（-D/2,-E/2））

（L是两圆满的公共弦所在直线,所以其方程为 (-2-D)x+(4-E)y-4=0）

　　又l的斜率为1

　　所以D+2=4-E （1）

　　又圆C`的直径在l上

　　所以圆C`的圆心(-D/2,-E/2)在直线l上       

　　所以(D+2)(-D/2)+(E-4)(-E/2)+4=0 （2）

（将（D/2,E/2）代入(-2-D)x+(4-E)y-4=0中可得方程（2））

   （1）（2）联立可得D=2,E=2或D=-3,E=5

　　故所求的直线l存在,其方程为x-y+1=0或x-y-4=0

　　为什么k=1推出方程1,点带入哪个方程得到方程2   

（将D、E的值代入(-2-D)x+(4-E)y-4=0中,可得L的方程.）

以上是你的过程,圆点后是我所加,希望对你有所帮助.