题目

已知函数f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

，其中x∈[1，+∞）．
（1）试判断它的单调性；
（2）试求它的最小值．

提问时间：2021-03-20

答案

（1）函数f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

=x+

1

2x

+2，
设1≤x₁≤x₂时，f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（

1

2x1

-

1

2x2

）=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

2x1x2

，
因为1≤x₁≤x₂，所以x₁-x₂＜0，

2x1x2-1

2x1x2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）因为f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，f（x）有最小值

7

2

．

（1）根据函数单调性的定义进行证明．
（2）根据函数单调性和最值之间的关系即可得到结论．

本题考点：A:函数单调性的性质 B:函数单调性的判断与证明

考点点评：本题主要考查函数单调性和最值的求解和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．